马尔可夫链是一种数学模型，用于描述一系列随机事件之间的状态转移概率规律。它以俄国数学家安德烈·安德烈耶维奇·马尔可夫的名字命名，主要用于描述一系列随机事件之间的状态转移概率规律。其核心思想是某个时刻系统的状态只依赖于前一个状态，而与时间的长短无关。换句话说，每个状态之间的转移概率只取决于当前状态，而与之前的状态和状态之间的历史无关。

马尔可夫链通常用一个状态空间和一个状态转移矩阵来表示。状态空间是所有可能的状态的集合，而状态转移矩阵则描述了各个状态之间转移的概率。具体而言，若状态空间为 {S1, S2, …, Sn}，状态转移概率矩阵为 P，则 P[i, j] 表示从状态 Si 转移到状态 Sj 的概率。这里的概率满足概率的公理：非负性和概率和为1。

马尔可夫链在许多领域中都有着广泛的应用，如自然语言处理、生态学、金融市场分析等。在自然语言处理中，它常用于文本生成和语言模型的建模，例如利用马尔可夫链生成类似于原始文本的新文本。此外，马尔可夫链还可以用于预测未来状态，分析系统的稳定性，以及解决其他涉及随机过程的问题。

另一个重要的概念是马尔可夫链的平稳分布。当一个马尔可夫链在长时间内收敛到一个稳定状态时，我们称该状态分布为平稳分布。这意味着无论从哪个起始状态开始，系统最终会收敛到一个固定的概率分布。计算马尔可夫链的平稳分布对于了解系统的长期行为和性质至关重要。

在实际应用中，马尔可夫链的状态空间和状态转移矩阵通常通过观测数据估计得到。通过分析数据中的状态转移模式，我们可以建立一个适合描述数据规律的马尔可夫链模型。然后利用这个模型进行预测、分类和决策等任务。

总的来说，马尔可夫链是一个重要而灵活的数学工具，可以帮助我们理解和模拟随机过程中的状态转移规律。通过合理的建模和分析，马尔可夫链可以在各个领域中发挥重要作用，为复杂系统的理解和应用提供有力支持。